Group Theoretical Hidden Structure of Supergravity Theories in Higher Dimensions

The purpose of my PhD thesis is to investigate different group theoretical and geometrical aspects of supergravity theories. To this aim, several research topics are explored: On one side, the construction of supergravity models in diverse space-time dimensions, including the study of boundary contributions, and the disclosure of the hidden gauge structure of these theories; on the other side, the analysis of the algebraic links among different superalgebras related to supergravity theories. In the first three chapters, we give a general introduction and furnish the theoretical background necessary for a clearer understanding of the thesis. In particular, we recall the rheonomic (also called geometric) approach to supergravity theories, where the field curvatures are expressed in a basis of superspace. This includes the Free Differential Algebras framework (an extension of the Maurer-Cartan equations to involve higher-degree differential forms), since supergravity theories in D ≥ 4 space-time dimensions contain gauge potentials described by p-forms, of various p > 1, associated to p-index antisymmetric tensors. Considering D = 11 supergravity in this set up, we also review how the supersymmetric Free Differential Algebra describing the theory can be traded for an ordinary superalgebra of 1-forms, which was introduced for the first time in the literature in the '80s. This hidden superalgebra underlying D = 11 supergravity (which we will refer to as the DF-algebra) includes the so called M-algebra being, in particular, a spinor central extension of it. We then move to the original results of my PhD research activity: We start from the development of the so called AdS-Lorentz supergravity in D = 4 by adopting the rheonomic approach and discuss on boundary contributions to the theory. Subsequently, we focus on the analysis of the hidden gauge structure of supersymmetric Free Differential Algebras. More precisely, we concentrate on the hidden superalgebras underlying D = 11 and D = 7 supergravities, exploring the symmetries hidden in the theories and the physical role of the nilpotent fermionic generators naturally appearing in the aforementioned superalgebras. After that, we move to the pure algebraic and group theoretical description of (super)algebras, focusing on new analytic formulations of the so called S-expansion method. The final chapter contains the summary of the results of my doctoral studies presented in the thesis and possible future developments. In the Appendices, we collect notation, useful formulas, and detailed calculations.

L'obiettivo della mia tesi di dottorato è quello di esplorare simmetrie nascoste nelle teorie di supergravità. In questa direzione ho affrontato diversi temi di ricerca: da un lato mi sono dedicata all'analisi della struttura di gauge nascosta in teorie di supergravità in varie dimensioni di spazio-tempo e allo studio di un particolare modello in quattro dimensioni in presenza di un bordo spaziale non banale; dall'altro lato, mi sono focalizzata sui legami algebrici tra superalgebre di rilevanza nel campo della supergravità. Nei primi tre capitoli della tesi vengono forniti un'introduzione generale e il background teorico necessario per una migliore comprensione degli argomenti trattati. In particolare, viene brevemente descritto l'approccio cosiddetto ''rheonomico'' (noto anche come approccio geometrico) alle teorie di supergravità, nel quale le curvature vengono espresse in una base del superspazio. Questo approccio include il concetto di Algebre Differenziali Libere (un'estensione delle equazioni di Maurer-Cartan che coinvolge forme differenziali di grado maggiore), dal momento che le teorie di supergravità in dimensioni di spazio-tempo D ≥ 4 contengono potenziali di gauge descritti in termini di forme differenziali di ordine maggiore di 1 associate a tensori antisimmetrici. Considerando la supergravità in undici dimensioni in questa formulazione geometrica, rivediamo anche come l'Algebra Differenziale Libera che descrive la teoria si può scrivere in modo del tutto equivalente in termini di una superalgebra ordinaria di 1-forme, introdotta per la prima volta in letteratura negli anni '80. Questa superalgebra nascosta nella teoria di supergravittà in undici dimensioni (che chiameremo DF-algebra) include la cosiddetta M-algebra. Passiamo poi ai risultati originali della mia attività di ricerca durante il dottorato: partiamo dallo sviluppo della cosiddetta ''supergravità di AdS-Lorentz'' in D = 4 dimensioni di spazio-tempo, adottando l'approccio rheonomico e studiando i contributi di bordo alla teoria. Successivamente, ci concentriamo sull'analisi della struttura di gauge nascosta delle Algebre Differenziali Libere supersimmetriche e sulle peculiari simmetrie nascoste in questi modelli. Nello specifico, ci focalizziamo sulle superalgebre nascoste nelle teorie di super- gravità in undici e in sette dimensioni, esplorando il ruolo fisico dei generatori fermionici nilpotenti che appaiono in modo naturale nelle superalgebre sopracitate. L'ultima parte della tesi è dedicata alla descrizione algebrica di (super)algebre e alla costruzione di nuove formulazioni analitiche del cosiddetto metodo di ''S-expansion". Il capitolo finale contiene un riassunto dei risultati dei miei studi di dottorato presentati nella tesi e alcuni possibili sviluppi futuri. Nelle Appendici si possono trovare la notazione adottata, formule utili e calcoli dettagliati.